1+2+3+4+5+… = -1/12 !!!

[Jean-Jacques Wawrzyniak]

L'énergie du vide quantique, -1/12 et l'effet Casimir ave David avec notre ami David Louapre.


https://scienceetonnante.com/2021/12/17 ... ivergente/

JJ

[Vincent Boudon]

Comme toujours, une excellente vidéo !

[Vincent Boudon]

Une nouvelle vidéo vraiment intéressante sur le sujet :



Numberphile revient sur le sujet avec une démonstration uneilisant une méthode de régularisation développée par Terence Tao (souvent considéré comme le plus grans mathématicien actuel).

Pour les plus courageux, vous trouverez d'ailleurs l'article de Tao ici : https://terrytao.files.wordpress.com/20 ... g-book.pdf
(Voir section 3.7, page 88 et suivantes)

Et aussi cet article de Padilla et Smith, tout aussi plus poilu : https://arxiv.org/abs/2401.10981v1

Même si c'est compliqué, retenons qu'il y a bien de vraies raisons d'écrire 1+2+3+… = -1/12, aussi étrange que cela puisse paraître.

[Eric Chariot]

C'est quand même très puissant.
Si je comprends bien, c'est la manière d'abolir (ou d'adoucir) la frontière entre le fini et l'infini qui fait la différence, et qui finit par rendre l'infini fini.
Quand on y pense, ce n'est pas si étonnant, on a résolu la catastrophe ultra-violette en inventant les quantas, donc des paquets d'énergie finie, pour résoudre une augmentation de température infinie. Dans ce cas on discrétisait l'infini. Ici on crée au contraire un continuum entre le fini et l'infini.
Pas étonnant non plus que cela ait une "odeur" de théorie de champs quantiques...

[Vincent Boudon]

Oui, d'autant qu'en théorie des champs, il y a vraiment des infinis (somme des énergies du point zéro des oscillateurs en double quantification) qui oblige à une "renormalisation" qui sert à "retirer" ces infinis gênants.

C'est pour ça que les travaux sur le sujet sont importants.

[Eric Chariot]

Ce qui veut dire que c'est la fin de l'infini

[Vincent Boudon]

Autre vidéo sur le sujet général des suites infinies non convergentes, avec le point de vue de la "continuation analytique" :



En gros, c'est de la "triche justifiée" !!!

Mais comme ces sommes interviennent bien dans des processus physiques, c'est important comme on disait plus haut. Et des méthodes distinctes, comme la régularisation de sommes ou la continuation analytique, mènent au même résultat, cela le justifie. N'oublions pas de la -1/2 permet de retrouver le résultat expérimental de l'effet Casimir !

[Vincent Boudon]

Je me suis amusé à regarder la fonction de régulation de Padilla et Smith dot l'article est évoqué plus haut.

En utilisant cette fonction puis en faisant tendre N (valeur de "coupure" de la sommation) vers l'infini, on tombe sur -1/12, sans terme divergent. C'est fascinant !

Pour celles et ceux que cela intéresse, on pourra en reparler à la SAB.

[Eric Chariot]

Oui c'est fort, ça renouvelle complètement l'idée qu'on peut se faire de l'infini. C'est une révolution équivalente à celle de la vision du temps après Einstein, ou de la localisation avec la mécanique quantique !

[Paul Becquart]

Bonjour,

Ce qui m'ennuie dans la démonstration c'est le signe =
Sauf erreur probable de ma part, parce que je ne suis pas mathématicien mais biologiste :

A n’est pas un nombre ni un infini mais une fonction (addition) entre n fois deux nombres : +1 et -1 (un nombre fini de chiffres)
B n’est pas un nombre ni un infini mais une fonction (addition) entre des nombres : +1 ; -2 ; +3 ; -4 etc. (un nombre infini de chiffres)
C n’est pas un nombre ni un infini mais une fonction (addition) entre tous les nombres naturels 1 ; 2 ; 3 ; 4 (un second groupe infini de chiffres mais différents)

L’infini n’est pas une addition mais une limite sans existence (tendance dynamique), ce n'est pas un nombre.
A l’inverse une fonction d’addition ne peut pas être un infini
Ils sont donc de nature différente

Le signe = n’a plus de signification dans ces calculs (a priori)

Deux infinis dont l'origine (calcul) est différente ne sont pas égaux
Or dans la démonstration les trois « pseudos infinis » A B C ne sont pas égaux (il suffit de comparer les chiffres impliqués)

De ces faits pour moi la solution de dire l’infini est égal à -1/12 ne veut rien dire mais il a le mérite d’apporter une valeur qui permet de s’affranchir de l’infini. Je vous invite à lire le numéro hors série N°3 de la revue Epsiloon sur l’infini, très intéressant.

Dans le même genre la démonstration suivante est fausse

1/3 = 0.333…
3 X 1/3 = 3/3 = 1
Donc 1 = 0.333… x 3 = 0.999 ….

Pourquoi est-elle fausse, car on met un égal entre trois chiffres de trois ensembles différents : les nombre naturels (1), les nombres réels (0.33…) et les nombres décimaux (1/3). Additionner des torchons et des serviettes donnent toujours des torchons et des serviettes.

Pour moi les équations de l’infini du départ transforment une limite sans existence en un nombre décimal … d’où ma réaction très suspicieuse Je pencherai plus pour un tour de passe-passe que pour une réalité

Paul