Ce n'est pas de l'astronomie, mais c'est amusant (si, si, les maths c'est amusant
). On parle souvent en physique du célèbre "Chat de Schrödinger". Mais en maths, il y a aussi le "Chat d'Arnold".Je me suis donc amusé avec ça et vous le partage ici.
Il s'agit d'une application due au mathématicien russe Vladimir Arnold. C'est une transformation qui s'applique dans l'espace carré périodique (ce qui définit en fait un tore, mais peu importe) de taille 1 : un carré dont les coordonnées vont de 0 à 1 en x et y ; quand on dépasse 1, on revient de l'autre côté, comme Pacman. Un point (x,y) de cet espace est transformé comme suit :
Le modulo (mod) sert à ramener les points dans des coordonnées entre 0 et 1. Cette application illustre la "Théorie du Chaos". Si on part de conditions initiales (de points) très proches au départ, en appliquant plusieurs fois la transformation d'Arnold, ils divergent très rapidement. Ici un exemple avec 3 points au centre du carré différant juste très peu en y pour 20, puis 2000 itérations.
Leur position et leur distance diverge très vite complètement (le point rouge décrit simplement un triangle, alors que les points bleu et vert finissent par décrire presque tout le carré, mais de manière différente, malgré leur proximité initiale). Une belle illustration du fameux "Effet Papillon" : une toute petite différence entraîne de gros effets à long terme.
Mais alors, que vient faire le chat dans cette histoire ? On peut aussi appliquer cette transformation à une image de N x N pixels (x et y devenant des entiers dans ce cas).
C'est la version "discrète" (dans le sens où on a un ensemble de points fini et régulièrement espacés). L'application devient déterministe (et non plus chaotique), mais reste surprenante. L'application successive de la transformation détruit rapidement l'image. Mais, périodiquement, l'image de départ se reconstitue. À certaines itérations, on aperçoit aussi le motif. Et la période dépend du nombre de pixels, mais n'est pas prévisible.
Vladimir Arnold avait illustré ceci en utilisant une photo de … chat ! Comme je le fais ici.
Et une petite animation sur 300 itérations d'une image de 150 x 150 pixels. Cliquer sur l'image pour l'animer.
Les figures ont été réalisées à partir de programmes en Octave.
Voir aussi : https://fr.wikipedia.org/wiki/Chat_d%27Arnold
Voilà, je ne sais pas si ça intéresse quelqu'un ici mais c'est rigolo. Miaou !
....mais la superposition à multiples états c'est fou ! Le chat a donc plus de 7 vies (cachées) ? 
